électricité générale Analyse et synthèse des circuits 2e édition

électricité générale Analyse et synthèse des circuits 2 eme édition

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sciences sup

Cours et exercices corrigés
IUT • Licence

électricité
générale
Analyse et synthèse des circuits
2e édition

Tahar Neffati

ÉLECTRICITÉ
GÉNÉRALE

Analyse et synthèse
des circuits

ÉLECTRICITÉ
GÉNÉRALE
Analyse et synthèse
des circuits
Cours et exercices corrigés
Tahar Neffati

Maître de conférences à l’IUT
de Cergy-Pontoise et au CNAM

2e édition

DU MÊME AUTEUR
Electricité générale – Analyse et synthèse des circuits,
Dunod, 2003.
Electronique de A à Z,
Dunod, 2004.
Introduction à l’électronique analogique,
Dunod, 2008.
Traitement du signal analogique,
Ellipses, 1999.
Exercices et problèmes résolus de traitement du signal analogique,
Ellipses, 2004.

Illustration de couverture : Fotolia, © Attila Toro

© Dunod, Paris, 2003, 2008
ISBN 978-2-10-053960-4

Table des matières

CHAPITRE 1 • NOTIONS DE BASE SUR LES CIRCUITS

1

1.1

Grandeurs électriques

1

1.2

Formes d’ondes et signaux électriques

5

1.3

Relation tension-courant

18

EXERCICES

30

CHAPITRE 2 • LES RÉSEAUX LINÉAIRES EN RÉGIME STATIQUE

44

2.1

Définitions

44

2.2

Lois de Kirchhoff

47

2.3

Associations de dipôles

49

2.4

Principaux théorèmes

52

2.5

Méthodes d’analyse

61

2.6

Puissance et énergie

72

EXERCICES

76

CHAPITRE 3 • ANALYSE HARMONIQUE

100

3.1

Représentation d’un signal sinusoïdal

100

3.2

Généralisation de la loi d’Ohm

107

3.3

Puissance et énergie en régime sinusoïdal

116

3.4

Systèmes triphasés

127

EXERCICES

133

VI

Table des matières

CHAPITRE 4 • QUADRIPÔLES ÉLECTRIQUES ET FONCTIONS DE TRANSFERT

152

4.1

Définitions

152

4.2

Représentation matricielle

153

4.3

Association de quadripôles

158

4.4

Quadripôles en charge

161

4.5

Fonction de transfert

166

EXERCICES

179

CHAPITRE 5 • LES RÉSEAUX LINÉAIRES EN RÉGIME QUELCONQUE

199

5.1

Résolution des équations différentielles

199

5.2

Utilisation de la transformation de Laplace

209

5.3

Transformation inverse

214

5.4

Méthodes de calcul

218

EXERCICES

232

CHAPITRE 6 • CIRCUITS À TRANSISTORS ET À AMPLIFICATEURS OPÉRATIONNELS

247

6.1

Les transistors bipolaires

247

6.2

Les transistors à effet de champ

252

6.3

Circuits à transistors

254

6.4

L’amplificateur opérationnel

261

6.5

Applications de l’amplificateur opérationnel

267

6.6

Contre réaction appliquée à l’amplificateur opérationnel

275

EXERCICES

279

INDEX

307

Chapitre 1

Notions de base sur les circuits

1.1 GRANDEURS ÉLECTRIQUES
1.1.1 Introduction
L’électricité est une forme d’énergie produite par la circulation de charges électriques
dans un corps conducteur ou semi-conducteur. Certains corps, en particulier les métaux (aluminium, cuivre...) sont de très bons conducteurs parce qu’ils possèdent des
électrons qui peuvent se libérer de l’attraction du noyau de l’atome pour participer à
la conduction électrique. Dans d’autres matériaux appelés isolants, les charges électriques ne peuvent pas circuler.
L’étude du mouvement de ces charges électriques et des phénomènes qui s’y rattachent est l’électrocinétique. En réalité, la mise en mouvement des charges dans un
conducteur n’est pas instantanée. Le champ électromagnétique se propage le long du
conducteur à une vitesse proche de la vitesse de la lumière qui est : c = 3 × 108 m.s−1
(mètres par seconde).
Nous allons dans la suite de ce paragraphe rappeler les définitions de l’électrocinétique.
Prenons par exemple le cas d’une batterie de voiture de 12 volts : cette batterie qui est
appelée générateur de tension ou source de tension a pour rôle de fournir l’énergie
sous forme d’un courant électrique. Une ampoule branchée directement aux bornes
de la batterie reçoit le courant c’est pourquoi l’ampoule est appelée un récepteur. Le

2

1

•

Notions de base sur les circuits

passage du courant électrique échauffe le filament de l’ampoule qui devient incandescent et produit une lumière. D’une façon générale, un récepteur est un appareil
qui transforme l’énergie électrique en diverses énergies.
Le rôle du générateur consiste non pas à fabriquer des charges, mais à mettre en
mouvement simultané les charges mobiles situées dans les matériaux conducteurs du
circuit électrique. C’est cette circulation des charges électriques dans les conducteurs
que nous appelons le courant électrique.
1.1.2 Charge électrique et courant électrique
La charge élémentaire « −q » est celle de l’électron. Il s’agit d’une charge négative exprimée en coulomb (C) et qui vaut : −q = −1,60 × 10−19 C. Les charges en
mouvement peuvent aussi être positives (ions positifs), mais pour les conducteurs,
ce sont souvent les électrons qui contribuent majoritairement à la conduction électrique.
Supposons maintenant un conducteur de section dS : ( par exemple dS = 1 cm2 ), qui
contient des porteurs de charges mobiles. Les collisions que subissent ces porteurs
de charges sur les imperfections du réseau cristallin du conducteur, leur communiquent un mouvement désordonné dont la résultante du point de vue de transport de
l’électricité, est nulle.
La batterie de l’exemple précédent est à l’origine de l’établissement d’un champ
→
−
électrique E qui permet le déplacement des charges électriques avec une vitesse
→
−
→
v est égale à :
proportionnelle à E . Cette vitesse notée −

→
−
→
−
v = m. E m représente la mobilité des charges exprimée en m2 . V−1 . s−1
En un intervalle de temps égal à 1 seconde, un certain nombre de charges « N »
−→
traversent la surface considérée « d S».
−→
→
−
N=−
v .n. d S. d t = →
v .n.1 cm2 .1 s
n étant la densité des charges ; c’est-à-dire le nombre de porteurs par unité de volume.
La charge électrique qui traverse la section en 1 seconde devient :
−→
−
d Q = qN = q.→
v .n. d S. d t

Le flux d’électrons qui circule dans le conducteur est appelé courant électrique I. Son
intensité s’exprime en ampère (A).
I=

dQ →
− −→
= J . dS
dt

Généralement, « dQ » représente la quantité de charges (en coulomb) traversant la
−→
section « d S » pendant l’intervalle de temps « dt » (en seconde).

1.1

Grandeurs électriques

3

I
e
e
e
e

nombre de charges traversant la section S
Débit =

intervalle de temps d'observation

Section S du conducteur

Figure 1.1 Déplacement des charges négatives et sens du courant dans un conducteur.

→
−
J représente le vecteur densité de courant exprimé en A.m−2 . La densité du courant
→
est liée à la vitesse « −
v » d’ensemble des porteurs de charges mobiles, et à leur
densité volumique de charges locale « rv ».
→
−
→
J = r .−
v exprimé en A.m−2
v

En remplaçant la vitesse par son expression, nous obtenons :
→
−
→
−
→
−
J = rv .m. E = s. E
s représente la conductivité électrique du conducteur, exprimée en siemens par
mètre (S.m−1 ). Cette expression représente la forme locale de la loi d’Ohm. Nous
utilisons aussi couramment l’inverse de la conductivité qui est appelée la résistivité
du conducteur.
1
r = exprimé en ohm.m (V.m)
s
Dans le cas particulier d’un conducteur cylindrique à section constante « S », nous
pouvons déterminer la résistance R ou la conductance G d’un tronçon du conducteur
de longueur :
S

R = r. exprimée en ohm et G = s. exprimée en siemens ou V−1
S

Par convention, les physiciens du XIXe siècle, ignorant alors l’existence des électrons, ont défini le courant électrique comme une circulation de charges positives
se déplaçant dans le circuit de la borne positive « + » du générateur vers la borne
négative « − » de ce dernier.
Cette convention a été maintenue bien que nous sachions aujourd’hui que, dans la
plupart des cas, ce sont des électrons qui circulent en sens inverse. Nous retenons :
• le sens du courant est identique au sens du déplacement des ions positifs (trous),
• le sens du courant est opposé au sens du déplacement des électrons.

Comme nous allons le voir au troisième paragraphe, nous trouvons dans les réseaux
linéaires l’élément résistance (résistor) dont la valeur exprime la résistance que le
composant oppose à la circulation des charges électriques.

4

1

•

Notions de base sur les circuits

La résistance, notée souvent « R », transforme ainsi l’énergie électrique reçue en
énergie thermique par dégagement de chaleur. Ce phénomène est connu sous le nom
d’effet Joule.
1.1.3 Potentiel électrique
Comme dans tous les domaines de la physique, le déplacement d’un objet quelconque (une bille, des molécules d’eau, de l’air...) est dû à un apport d’énergie caractérisé par le travail. L’unité du travail (ou énergie) est le joule. Souvent, pour mieux
expliquer les phénomènes électriques, nous avons recours à des analogies hydrauliques. Par exemple, l’intensité du courant est comparée à un débit d’eau, la section
du conducteur correspondant à la section du tuyau.
En électricité, le générateur joue le rôle d’une pompe où l’eau est remplacée par
des charges électriques. La différence d’état électrique (équivalent de la pression) est
appelée différence de potentiel ou tension électrique. Nous pouvons aussi comparer
le déplacement d’une charge électrique au déplacement d’une masse entre un niveau
haut et un niveau plus bas, ce qui constitue la chute de la masse.
Dans tous les cas, nous avons affaire à un travail qui peut être exprimé par :
W = Q (UA − UB ) = Q.U

en joule (J)

La quantité U = UA − UB est appelée la différence entre le potentiel du point A et
le potentiel du point B, nous parlons alors d’une différence de potentiel exprimée
en « volt ». Cette différence de potentiel est définie comme étant le travail par unité
de charge. Elle établit une comparaison entre deux points d’un circuit. La tension
est symbolisée par la lettre U (ou V) et par une flèche sur le circuit tournée vers le
point dont le potentiel est le plus élevé : c’est-à-dire la borne positive du générateur
de l’exemple donné à la figure 1.2 qui représente une batterie (pile) du type 12 volts
branchée aux bornes d’une ampoule ou d’une résistance.
A

12 V

+
-

u(t)

12 V

u(t)

(b)

A

u(t)

eg (t)

B

B

(a)

i(t)

A

B

(c)

Figure 1.2 Représentation d’un générateur (12 V) et d’un récepteur constitué, soit d’une
ampoule électrique (a) et (b), soit d’une résistance (c).

1.1.4 Énergie et puissance électrique
Dans un conducteur, les porteurs de charges soumis à un champ électrique se trouvent
en mouvement, ce qui leur procure une certaine énergie cinétique. Ils cèdent cette

1.2

Formes d’ondes et signaux électriques

5

énergie au cours de collisions multiples qu’ils subissent durant leur trajet. Le conducteur s’échauffe et nous parlons dans ce cas d’échauffement par effet Joule. L’échauffement traduit la quantité d’énergie dissipée par le conducteur.
Soit u(t) la différence de potentiel entre le point A et le point B à un instant déterminé
et soit i(t) le courant qui circule entre A et B au même instant. Nous parlons dans ce
cas de grandeurs électriques instantanées. La puissance instantanée est :
p(t) = u(t).i(t) exprimée en watt (W)
Cette puissance représente le taux (en joule par seconde) selon lequel l’énergie est
transférée. Il est donc possible de déterminer, pendant l’intervalle de temps considéré
« Dt », la quantité d’énergie dissipée.
Dt
Dt
p(t) d t =
u(t).i(t) d t (en J)
W=
0

0

Remarque : Ne pas confondre l’unité de la puissance qui est le watt, notée « W » et l’énergie ou travail qui est souvent désigné en physique par la
lettre « W ».
Souvent, l’évolution temporelle de la valeur de la tension u(t) et de la valeur du
courant i(t) en fonction du temps n’est pas constante, mais elle est décrite par une
expression mathématique connue f (t). La connaissance de l’énergie dissipée pendant
l’intervalle du temps Dt permet de calculer la puissance moyenne.
Dt
Dt
W
1
1
Pmoyenne =
=
p(t) d t =
u(t).i(t) d t (en watt)
Dt
Dt 0
Dt 0
En toute rigueur, la moyenne temporelle d’un signal électrique est une caractéristique
propre qui doit être calculée sur toute l’existence de ce signal, en prenant un intervalle
de temps infini. En pratique, nous nous contentons d’une estimation en prenant un
intervalle de temps Dt déterminé.

1.2 FORMES D’ONDES ET SIGNAUX ÉLECTRIQUES
D’une manière générale, un circuit électrique linéaire peut être décrit par les éléments passifs (résistances, condensateurs et inductances) qui le constituent, et par
les générateurs de tension et de courant qui l’alimentent.
Pour ces générateurs, nous pouvons distinguer les sources continues et les sources
alternatives, sinusoïdales ou non.
➤ Le régime statique ou régime continu

Les grandeurs électriques sont invariantes dans le temps. Nous disons que les tensions et les courants sont continus. Le régime statique peut être utilisé seul dans des
cas simples, mais ce régime constitue souvent une première étape pour étudier des
systèmes plus complexes comme par exemple les amplificateurs.

6

1

•

Notions de base sur les circuits

➤ Le régime dynamique ou régime variable

Les grandeurs électriques évoluent dans le temps selon une loi de variation temporelle bien déterminée. Nous pouvons appliquer directement ce régime à des éléments
passifs ou sur un schéma équivalent du circuit, auquel cas le modèle n’est valable
que pour un régime statique particulier (point de fonctionnement déterminé).
1.2.1 Tensions et courants continus
Dans un circuit, nous souhaitons souvent déterminer la tension entre deux points appelés dipôle électrique. Nous pouvons choisir d’avance soit la convention récepteur,
soit la convention générateur :
• convention récepteur : les flèches du courant et de la tension sont en sens inverse ;
• convention générateur : les flèches du courant et de la tension sont dans le même

sens.
A I

B

A I

B

UAB

UAB

(a)

(b)

Figure 1.3 Convention générateur (a) et convention récepteur (b).

Il est commode d’utiliser l’une ou l’autre des conventions selon la nature connue
ou présumée du dipôle. Mais il arrive souvent qu’après avoir fini le calcul, l’une ou
l’autre des quantités déterminées soit négative. Nous pouvons alors nous référer au
tableau suivant :
Tableau 1.1 Tableau récapitulatif des conventions.
U

+

−

+

−

I

+

+

−

−

Convention
récepteur

Le dipôle réel est
un récepteur
v>0

Le dipôle réel est
un générateur
v<0

Le dipôle réel est
un générateur
v<0

Le dipôle réel est
un récepteur
v>0

Convention
générateur

Le dipôle réel est
un générateur
v>0

Le dipôle réel est
un récepteur
v<0

Le dipôle réel est
un récepteur
v<0

Le dipôle réel est
un générateur
v>0

a) Source idéale de tension

Un générateur (source) de tension continue supposé idéal est un générateur qui fournit, entre ses bornes, une différence de potentiel constante, quelle que soit l’intensité
du courant qui le traverse, ou en d’autres termes quelle que soit la charge à ses bornes,
à condition que cette charge ne soit pas nulle.

1.2

Formes d’ondes et signaux électriques

7

Nous appelons aussi la source de tension idéale, une force électromotrice U désignée
par l’abréviation « f.é.m ». Nous trouvons souvent dans les documents produits en
français trois types de notation indiquées à la figure 1.4.

•A

•A

• A

•B

• B

•B

+
−

(a)

(b)

(c)

Figure 1.4 Différents symboles pour une source de tension.

Pour l’étude des circuits électriques, nous sommes souvent amenés à déterminer la
tension entre deux points A et B, autrement dit aux bornes d’un dipôle AB. Dans ce
cas, nous pouvons choisir la convention récepteur pour laquelle la flèche du courant
et la flèche de la tension sont en sens inverse. Nous pouvons aussi choisir la convention d’un générateur (émetteur) pour laquelle la flèche du courant et la flèche de la
tension sont dans le même sens. Dans la convention récepteur représentée sur la figure 1.5 (a), le générateur reçoit de l’énergie si le produit U .I est positif, il en fournit
si au contraire U .I est négatif.
I

I

A

U
A

E
E

U

E

U
I
B

B

(a)

(b)

(c)

Figure 1.5 Source de tension avec la convention récepteur (a),
la convention générateur (b) et courbe U = f(I) en (c).

Supposons maintenant un générateur idéal de tension qui fournit à une charge quelconque un courant I. Nous pouvons tracer l’évolution de la tension en fonction du
courant : U = f (I) aux bornes de la charge. Cette caractéristique présentée à la figure
1.5 (c) se réduit à une droite parallèle à l’axe des courants et d’abscisse à l’origine
égale à E, ce qui représente la valeur de la tension fournie par la source.
La puissance Pf fournie par le générateur est égale à la puissance dissipée par la
charge. Cette puissance varie proportionnellement avec l’intensité du courant qui
circule dans le circuit.
U = UA − UB = constante et

Pf = Pdissipée = U .I = E.I

8

1

•

Notions de base sur les circuits

La courbe représentant la variation de la puissance fournie par une source idéale de
tension en fonction du courant débité est donnée à la figure 1.6.
Pf

I
Figure 1.6 Variation de la puissance fournie en fonction du courant débité.

b) Source idéale de courant

Un générateur (source) de courant continu supposé idéal est un générateur fixant
l’intensité du courant électrique Ig qui le traverse quelle que soit la différence de
potentiel U à ses bornes, autrement dit quelle que soit la charge à ses bornes, à
condition que cette charge ne soit pas infinie. Le courant ainsi débité est aussi appelé
courant de court-circuit.
A

A

•
Ig

Ig

•
Ig

•B
(a)

A

•

•B
(b)

•B
(c)

Figure 1.7 Nouveaux symboles (a) et (b) et ancien symbole (c) d’une source de courant.

Comme pour le générateur de tension, en utilisant la convention récepteur, si le produit U .I est négatif, le générateur fournit de l’énergie ; si le produit U .I est positif,
le générateur reçoit de l’énergie. La figure 1.8 (a) donne le courant débité I en fonction de U et la figure 1.8 (b) la puissance fournie Pf en fonction de la tension U aux
bornes du générateur de courant.
c) Générateur réel de tension

Un générateur réel de tension possède souvent une résistance interne Rg placée en
série avec le générateur idéal de tension Eg . La tension qui apparaît entre les deux
bornes du dipôle est égale à la somme algébrique de la tension fournie par le générateur Eg et de la chute de tension produite par le passage du courant I circulant dans
la résistance interne.

1.2

Formes d’ondes et signaux électriques

I

9

Pf

Ig

U
(a)

U
(b)

Figure 1.8 Variations du courant I (a) et de la puissance fournie Pf (b), en fonction de U.

Selon le choix arbitraire du sens du courant, le dipôle ainsi constitué a pour équation
l’une des deux relations suivantes :
U = Eg + Rg .I

cas de la figure 1.9 (a)

U = Eg − Rg .I

cas de la figure 1.9 (b)

Figure 1.9 Générateur réel de tension chargé par une résistance R.

La caractéristique courant-tension du générateur réel s’obtient facilement en ajoutant
algébriquement la caractéristique courant-tension du générateur idéal (U = Eg ) et
celle de la résistance interne (Rg .I) à intensité I fixée. Si nous choisissons la convention générateur de la figure 1.9 (b), la caractéristique est représentée sur la figure 1.10
par la droite d’équation :
U = Eg − Rg .I
Cette droite passe par les deux points dont les coordonnées sont :




Eg
U = 0 et I = ICC =
et
U = Eg et I = 0
Rg
ICC est appelé le courant de court-circuit de la source.
Si nous utilisons, comme nous l’avons représenté à la figure 1.9 (b), la convention
générateur pour la source et la convention récepteur pour la résistance, lorsqu’une
source réelle de tension est chargée par une résistance R, la tension U et le courant I
doivent vérifier :
U = Eg − Rg .I et U = R.I

10

1

•

Notions de base sur les circuits

U
Droite d’équation : U = R.I

Eg

Droite d’équation : U = Eg – Rg .I

M

I
ICC
Figure 1.10 Caractéristique tension-courant d’une source réelle de tension.

Sur la figure 1.10, le point M de coordonnée (U,I) est représentatif de l’état du circuit.
Il se trouve à l’intersection des deux droites d’équation :
• U = Eg − Rg .I ;
• U = R.I.

Ce point est appelé point de repos ou point de fonctionnement du circuit. Parfois,
pour des circuits complexes, si nous superposons une tension continue et une tension
alternative, afin d’éviter des confusions, nous pouvons mettre des indices zéro (U0 ,I0 )
à la place de (U,I).
d) Générateur réel de courant

Un générateur réel de courant présente toujours une résistance interne de fuite de
courant. Cette résistance Rg est montée en parallèle avec le générateur idéal. Le courant total I qui traverse le dipôle est égal à la somme algébrique du courant dans la
résistance interne Rg et du courant Ig fourni par le générateur.
I
Ig

Rg

R

U

I = Ig −

U
Rg

Figure 1.11 Source réelle de courant chargée par une résistance R.

La caractéristique courant-tension s’établit (comme pour le générateur réel de tension) en ajoutant l’intensité Ig à celle traversant la résistance R pour une différence
de potentiel fixée.
Nous prenons la convention générateur pour la source de courant et la convention
récepteur pour la résistance R. Lorsque la source est utilisée pour alimenter une résistance R, le point M représentatif de l’état du circuit de coordonnées (U,I) se trouve
à l’intersection :
U
• de la caractéristique de la source dont l’équation est : I = Ig −
Rg

1.2

Formes d’ondes et signaux électriques

• et de la caractéristique de charge d’équation : I =

11

U
R

Le point d’intersection de la caractéristique de la source avec l’axe des abscisses,
donne une tension notée UV = Rg .Ig qui représente la tension à vide de la source de
courant.
I
Droite d’équation : I = U/R

Ig

Droite d’équation : I = Ig – U/R

M

U
Rg .Ig
Figure 1.12 Variation du courant en fonction de la tension d’une source réelle de courant.

Remarque : Souvent, les résistances internes n’ont pas plus de réalité physique
que les sources idéales auxquelles elles sont associées pour représenter les
sources réelles. Ces représentations permettent de modéliser le comportement
des sources vis-à-vis de l’extérieur. La résistance interne traduit un phénomène
physique qui limite l’énergie tirée d’une source.
1.2.2 Tensions et courants périodiques
a) Fonction périodique

Un signal u(t) ou i(t) est périodique, de période « T » si, quel que soit l’instant t,
nous avons :
u(t) = u(t + T) ou i(t) = i(t + T)
La connaissance du signal sur une durée égale à T, c’est-à-dire la connaissance de
l’évolution de la fonction qui représente le signal est suffisante pour le déterminer
complètement.
• T est la période du signal exprimée en seconde (s) ; nous utilisons les multiples

et sous-multiples de cette unité. Cette période représente le temps qui sépare deux
passages successifs par la même valeur avec le même sens de variation.
• La fréquence « f » qui est exprimée en hertz (Hz) donne le nombre de périodes

par seconde. Nous pouvons aussi utiliser surtout les multiples de cette unité :
kHz, MHz et même des GHz dans le cas de l’hyperfréquence.
Nous pouvons aussi rencontrer dans des documentations anciennes le terme de cycle
par seconde qui a été remplacé par le hertz.
f = 1 /T

en Hz (ou s−1 )

12

1

•

Notions de base sur les circuits

En électronique, nous avons affaire fréquemment à des fonctions périodiques. Par
exemple, le spot lumineux d’un téléviseur ou d’un oscilloscope doit se déplacer d’une
façon linéaire, de gauche à droite et de haut en bas. Nous appliquons pour cela sur
les plaques de déviation horizontale et sur les plaques de déviation verticale deux
tensions triangulaires.
Nous utilisons aussi des signaux carrés (signaux d’horloge) pour commander des
composants en électronique digitale (numérique).
La figure 1.13 représente trois cas particuliers de fonctions périodiques, à savoir :
• La fonction : tension sinusoïdale u1 (t)
• La fonction : tension dents de scie u2 (t)
• La fonction : tension carrée sans offset (tension de décalage) u3 (t)

u 1 (t)

u2 (t)

u3 (t)

T

E

E

E

t

t

t

T

–E

–E

T
Figure 1.13 Exemples de fonctions périodiques de période T .

b) Fonction sinusoïdale

Le signal sinusoïdal est un signal périodique particulier. Sa loi d’évolution s’exprime
à l’aide des fonctions sinus et cosinus. On dit qu’un réseau linéaire fonctionne en
régime sinusoïdal ou régime harmonique si ses tensions et courants ont pour expressions algébriques :
s(t) = SMax cos(vt + f)

ou

s(t) = SMax sin(vt + f)

Pour des raisons de commodité, en vue de ce qui va suivre (représentation de Fresnel
et représentation complexe), nous préférons définir le signal sinusoïdal par la première expression qui correspond à une cosinusoïde. Nous avons présenté à la figure
1.14 (a) le signal cosinusoïdal s1 (t) et à la figure 1.14(b) le signal sinusoïdal s2 (t) :
s1 (t) = SMax cos(vt) et

s2 (t) = SMax sin(vt)

La variable temps « t » est supposée varier de « −∞ » à « +∞ », s(t) est la valeur
(ou amplitude) instantanée exprimée en volt ou en ampère.

1.2

Formes d’ondes et signaux électriques

13

s2 (t)

s1 (t)
SMax

SMax

t

t

-SMax

-SMax

(a)

(b)

Figure 1.14 Représentation temporelle (cartésienne) d’un signal cosinusoïdal (a)
et d’un signal sinusoïdal (b).

• 2SMax représente la valeur crête à crête de s(t) ;
• SMax est la valeur maximale ou crête du signal s(t) ;
• v est la pulsation (appelée parfois vitesse angulaire) du signal. La pulsation est

reliée à la fréquence et à la période T par :
v = 2pf =

2p
T

exprimée en radian par seconde (rad.s−1 )

• vt + f représente l’angle de phase instantanée appelé souvent phase instantanée,

qui est exprimée généralement en radian et parfois en degré ;
• f est l’angle de phase appelé souvent phase à l’origine exprimée en radian ou en

degré.
c) Décalage et déphasage

Considérons par exemple un courant (ou une tension) sinusoïdal :
s(t) = SMax cos(vt + f) ;
ce courant passe dans un circuit électrique. La sortie obtenue est notée :

s (t) = SMax
cos(vt + f ). Nous notons les phases instantanées : u et u avec :
u = vt + f et u = vt + f
Nous appelons différence de phase (ou déphasage) instantanée entre s(t) et s (t) la
quantité :
u − u = (vt + f ) − (vt + f) = f − f
Cette différence de phase Df = f − f est une constante. Nous pouvons alors écrire :


s (t) = SMax
cos(vt + f + f − f ) = SMax
cos(v(t − (f − f )/v) + f )

L’expression précédente montre que s (t) à l’instant t1 se trouve dans la même situation que s(t) à l’instant : t2 = t1 − (f − f )/v. Deux cas se présentent :

14

1

•

Notions de base sur les circuits

– si f > f , t2 est antérieur à t1 , le signal s (t) est en retard de phase sur s(t). C’est
le cas représenté à la figure 1.15 (a) ;
– si f < f , t1 est antérieur à t2 , le signal s (t) est en avance de phase sur s(t). Ce
cas est représenté à la figure 1.15 (b).
s (t),s’(t)

s (t),s’(t)
s (t)

s’(t)

s’(t)

s (t)

t ou (ωt)
Δφ

t ou (ωt)
Δφ

(a)

(b)
s (t) : s (t)

Figure 1.15 Représentation du déphasage entre s(t) et
est en retard de phase (a) ou
en avance de phase (b) par rapport à s(t).

Remarque 1 : Le raisonnement concerne deux signaux de même fréquence.
Dans le cas contraire, nous ne pouvons plus utiliser la notion de déphasage.
Remarque 2 : Souvent, nous pouvons tracer s(t) et s (t) en fonction du temps
ou en fonction de vt. Dans ce dernier cas, nous pouvons lire directement le
déphasage sur l’axe des abscisses.
Nous voyons donc que la différence de phase f − f s’interprète physiquement
comme étant, à une constante multiplicative près (qui est la pulsation v), le retard
compté algébriquement du signal s (t) sur le signal s(t).
D’après la définition précédente, le déphasage peut être supérieur ou inférieur à 2p.
Or un angle, donc un déphasage, est toujours défini à 2kp près. C’est le problème
essentiel des mesures en régime sinusoïdal. Dans ce cas, le seul moyen d’apprécier
réellement le déphasage est d’étudier le comportement du circuit en régime transitoire, c’est-à-dire lorsque la tension ou le courant passent brusquement d’une valeur
à une autre.
d) Valeurs moyennes et valeurs efficaces

La valeur moyenne d’une fonction sinusoïdale s(t) = SMax cos(vt + f) est :


1 T
1 T
s(t) d t =
SMax cos(vt) d t
Smoyenne = s(t) =
T 0
T 0
SMax
Smoyenne =
[sin (vt)]T0 = 0
v.T

1.2

Formes d’ondes et signaux électriques

15

Puisque la valeur moyenne d’une fonction sinusoïdale pure est nulle, nous n’utilisons
que rarement en électricité la notion de la valeur maximale SMax d’une fonction périodique. En revanche, nous préférons lui substituer une grandeur plus significative
Seff , appelée valeur efficace, telle que :

1 T 2
Seff =
s (t) d t
T 0
Si nous prenons le cas particulier d’un signal sinusoïdal s(t) avec :
s(t) = SMax cos(vt + f),
la valeur efficace devient :


T /2
2
1 T 2
1 T /2 2
SMax
1 − cos(2vt)
2
2
Seff =
s (t) d t =
SMax sin (vt) d t =
dt
T 0
T −T /2
T
2
−T /2


2
SMax
sin(2vt) T /2
S2
SMax
2
soit : Seff = √
t−
= Max
Seff =
2T
2v
2
2
−T /2
Les forces électromotrices, les tensions et les courants d’un circuit électrique en régime sinusoïdal ont pour expression la forme suivante :
√
√
s(t) = 2Seff cos(vt + f) ou s(t) = 2Seff sin(vt + f)
Les grandeurs de ces variables sont toujours données (ou lues), sur la plupart des
appareils,
√ en valeurs efficaces. Une tension alternative dite de 220 volts, varie entre
± 220 2 soit ± 310 volts en changeant de sens deux fois par période.
Remarque : Dans le cas général d’une tension périodique, la valeur efficace
vraie connue sous le sigle TRMS (True Root Mean Square) est la valeur d’une
tension continue qui produirait, dans une résistance identique, le même dégagement de chaleur dans le même temps, autrement dit une même dissipation
de puissance. Dans le cas d’une sinusoïde, nous utilisons souvent juste les
deux premiers mots « valeur efficace ».
1.2.3 Compléments sur les sources
a) Tensions et courants non périodiques

Il n’existe pas de régime permanent, qu’il soit statique ou harmonique au sens strict.
Il a fallu, à un moment donné, mettre le circuit sous tension. Les grandeurs électriques ont changé de valeur à la mise sous tension. L’établissement de ces grandeurs
prend un certain temps et le passage d’un régime permanent (souvent état de repos)
à un autre régime permanent est alors appelé régime transitoire.
Souvent, nous utilisons des fonctions mathématiques pour modéliser l’évolution de
la tension ou du courant en fonction du temps (voir chapitre 5 consacré aux régimes
transitoires). Certaines d’entre elles présentent un grand intérêt.

16

1

•

Notions de base sur les circuits

➤ La fonction porte p(t)

La fonction porte ou fenêtre, représentée à la figure 1.16 (a), est la fonction p(t)
définie par :
p(t) = 1

pour

|t| < T /2

p(t) = 0

et

pour

|t| > T /2

Cette fonction permet de modéliser la mise sous tension puis la coupure de l’électricité.
➤ La fonction impulsion de Dirac d(t)

Pour trouver la fonction impulsion de Dirac présentée à la figure 1.16 (b), nous prenons la fonction porte et nous supposons que T tend vers zéro. Nous obtenons :
• d(t) = lim p(t) lorsque T tend vers 0 ;
• d(t) = 0 pour t = 0 ;
• d(t) = ∞ pour t = 0.

Physiquement, l’impulsion de Dirac ne peut être obtenue puisque cette impulsion
présente un temps de montée nul. Cette fonction est importante dans l’analyse de
circuits (filtres).
➤ La fonction échelon unité de Heaviside u(t)

La fonction échelon unité présentée à la figure 1.16 (c), est définie comme suit :
• u(t) = 0 pour t < 0 et
• u(t) = 1 pour t = 0.

Nous utilisons souvent aussi la notion de u(0− ) = 0 et u(0+ ) = 1
Cette fonction est intéressante puisqu’elle permet de modéliser l’établissement de
manière instantanée d’un régime continu, d’où son rôle pour l’étude des régimes
transitoires.
δ(t)

π(t)

u(t)
1

1

t

t
-T/2
(a)

t

T/2
(b)

(c)

Figure 1.16 Représentation des fonctions : porte (a), impulsion de Dirac (b) et échelon (c).

1.2

Formes d’ondes et signaux électriques

17

➤ La fonction rampe f (t)

La fonction rampe présentée à la figure 1.17 (a) représente l’intégrale de la fonction
échelon unité. Elle est définie comme suit :
• f (t) = 0 pour t < 0 et
• f (t) = at pour t 0.

Cette fonction peut se révéler intéressante dans les cas concernant les études du
contrôle, de la poursuite et de la régulation des systèmes électriques.
➤ La fonction exponentielle g(t)

La fonction exponentielle présentée à la figure 1.17 (b) est définie comme suit :
g(t) = e−at u(t)
Cette fonction joue un rôle important dans l’analyse de circuits électriques.
f(t)

g(t)

t
(a)

t
(b)

Figure 1.17 Représentation de la fonction rampe (a) et exponentielle (b).

b) Sources indépendantes et sources liées

Les sources de tensions et les sources de courants idéales (ou non), continues (ou
sinusoïdales) étudiées auparavant sont des sources indépendantes. Mais il peut arriver
que la force électromotrice (ou le courant) d’une source dépende d’une grandeur X
quelconque du circuit (tension ou courant). La source est dite liée ou dépendante.
Nous pouvons donc imaginer quatre sources dépendantes :
• une source de tension U dépendant d’une source de tension U (a) : U = K1 U
• une source de tension U dépendant d’une source de courant I (b) : U = K2 I
• une source de courant I dépendant d’une source de courant I (c) : I = K3 I
• une source de courant I dépendant d’une source de tension U (d) : I = K4 U

Les coefficients K1 , K2 , K3 et K4 sont des coefficients de proportionnalité (respectivement : sans dimension, homogène à une impédance, sans dimension et homogène
à une admittance). Ces coefficients sont indépendants des tensions fournies ou des
courants débités par les sources.

18

1

K1U

K2I

(a)

•

Notions de base sur les circuits

K3I

(b)

K4U

(c)

(d)

Figure 1.18 Représentation des quatre sources liées.

La notion de sources liées est à la base de l’étude de tous les modèles électriques
concernant les éléments actifs tels que les transistors et d’une façon générale les
amplificateurs. Ces sources dépendantes transforment l’énergie électrique, mais ne
sauraient en fournir spontanément.
Un réseau passif est un réseau qui ne contient que des sources indépendantes. Un
réseau actif contient des sources liées et souvent aussi, des sources indépendantes.
c) Extinction ou passivation d’une source indépendante

Dans certains cas, nous pouvons être amené à éteindre les sources, c’est à dire à annuler leurs effets ; autrement dit, nous supposons qu’elles ne fournissent plus aucune
énergie au réseau. Deux cas se présentent :
• Une source idéale de tension est éteinte si elle se comporte comme un court-circuit

quel que soit le courant qui la parcourt. Il suffit donc de la remplacer par un courtcircuit.
• Une source idéale de courant est éteinte si elle se comporte comme un circuit

ouvert quelle que soit la tension à ses bornes. Il suffit donc de la remplacer par un
circuit ouvert.
Remarque 1 : Nous ne pouvons pas éteindre une source liée.
Remarque 2 : En général, nous travaillons avec des sources réelles qui comportent des résistances internes. Dans ce cas, il suffit de remplacer la source
éteinte par sa résistance interne Rg . Cette opération s’appelle passivation des
sources.

1.3 RELATION TENSION-COURANT
En pratique, une source de tension excite un ensemble d’éléments pour réaliser une
fonction particulière. Nous trouvons, dans les circuits et réseaux électriques, des
éléments passifs (les résistances, les condensateurs et les inductances) et des éléments actifs. Les éléments actifs peuvent être étudiés en utilisant un modèle équivalent constitué d’éléments passifs, en plus des sources contrôlées de tensions ou de
courants.

1.3

Relation tension-courant

19

1.3.1 Cas d’une résistance

(a)

(b)

(c)

Figure 1.19 Symboles d’une résistance.

Les résistances sont des composants fabriqués en utilisant du carbone graphité, mélangé avec l’argile soit à l’aide d’un alliage possédant un fort coefficient de résistivité
(constantan, manganin...) ou par dépôt sur un film métallique de couche d’oxydes.
Dans tous les cas, trois critères sont à considérer dans le choix d’une résistance :
• sa valeur ohmique exprimée en ohm et noté « V » ;
• sa puissance à dissiper de l’énergie. Nous trouvons des résistances simples 0,25

ou 0,5 watt et des résistances de puissance capables de dissiper au moins 1 watt ou
davantage. Dans ce denier cas, les résistances sont souvent à couches métalliques,
bobinées ou vitrifiées. La valeur de la résistance est indiquée sur le composant.
• sa précision ou tolérance. Il existe plusieurs séries de résistances caractérisées par

l’échelonnement des valeurs par décade. Par exemple la série E12, qui concerne
des résistances de faible puissance comporte, 12 valeurs par décade, à savoir : 10 ;
12 ; 15 ; 18 ; 22 ; 27 ; 33 ; 39 ; 47 ; 56 ; 68 ; 82 (ainsi que les multiples et les sousmultiples). La valeur d’une résistance est indiquée selon le code des couleurs, à
l’aide de quatre anneaux (les trois premiers pour la valeur ohmique et le quatrième
pour la tolérance).
Remarque : Il existe une famille de résistances qui possède la propriété de varier en fonction d’un paramètre particulier. Parmi les plus utilisées, nous trouvons les thermistances qui sont des résistances dont la valeur varie en fonction
de la température, soit en augmentant (CTP : thermistance à coefficient de
température positif), soit en diminuant (CTN : thermistance à coefficient de
température négatif). Ces résistances réservées à des applications particulières
de contrôle et de comparaison ne seront pas étudiées dans ce livre.
La résistance est définie par la relation qui s’établit entre la tension à ses bornes et le
courant qui la traverse, appelée loi d’Ohm.
u(t) = R.i(t)
u(t) est exprimée en volt, R en ohm et i(t) en ampère.
Si la tension aux bornes d’une résistance est de 1 volt et si cette résistance est parcourue par un courant de 1 ampère, la valeur ohmique de cette résistance est de 1
ohm.
Tout dispositif électrique qui consomme de l’énergie comporte au moins une résistance dans son circuit modélisé. La puissance instantanée dissipée par une résistance

20

1

•

Notions de base sur les circuits

est :
p(t) = u(t).i(t) en watt (W)
Dans le cas particulier d’une tension continue, la puissance instantanée dissipée dans
la résistance R devient :
p(t) = u(t).i(t) = U .I = R.I 2 = U 2 /R

en watt (W)

Cette quantité est toujours positive, ce qui revient à dire qu’une résistance dissipe
toujours de la puissance. Nous pouvons dire qu’une résistance joue le rôle d’un récepteur. Dans ce cas l’énergie consommée entre deux instants t1 et t2 s’obtient en
intégrant la puissance instantanée :
t2
p(t) dt en joule (J)
W=
t1

Dans le cas particulier d’une tension continue, nous obtenons :
t2
U2
p(t)dt = R.I 2 × (t2 − t1 ) =
W=
(t2 − t1 ) en joule (J)
R
t1
Sachant que l’expression de l’énergie est déterminée pour une durée égale à (t2 − t1 ),
nous pouvons en déduire l’expression de la puissance moyenne dissipée par une
résistance :
W
W
Pmoyenne =
=
en watt (W)
t2 − t1
Dt
Dans le cas particulier d’une tension continue, la puissance moyenne devient :
Pmoyenne =

W
U2
= R.I 2 =
t2 − t1
R

en watt (W)

Une résistance de valeur égale à 1 ohm, qui est parcourue par un courant I d’intensité
égale à 1 ampère, dissipe sous forme de chaleur (effet joule) une puissance égale à 1
watt.
1.3.2 Cas d’un condensateur
Un condensateur est un composant passif constitué de deux conducteurs appelés souvent armatures, séparés par un diélectrique ou isolant (papier, mica ou air). Il s’agit
d’un réservoir d’énergie électrostatique capable d’emmagasiner l’énergie dans un
champ électrique. Lorsque la tension est variable sur un cycle, l’énergie sera stockée
durant une partie du cycle puis restituée durant l’autre partie du cycle.
+

(a)

(b)

(c)

Figure 1.20 Symbole d’un condensateur normal (a), d’un condensateur variable (b)
et d’un condensateur chimique (c).

1.3

Relation tension-courant

21

En plus, le condensateur est capable de garder sa charge une fois débranché du circuit. Il reste chargé jusqu’à ce qu’une liaison permette la décharge.
Si le condensateur est traversé par un courant d’intensité i, la quantité de charges
stockées pendant un intervalle de temps d t considéré constant est :
d Q = i. d t

en coulomb (C)

Cette variation de charges engendre une variation de la différence de potentiel à ses
bornes :
d Q = C d u = i. d t en coulomb (C)
Plus le nombre de charges stockées est important, plus la différence de potentiel aux
bornes est élevée. La capacité du condensateur à accumuler les charges, notée « C »,
a pour unité le farad (F). Le Farad étant une quantité très grande, on emploie souvent
des sous-multiples.
Nous trouvons des condensateurs non polarisés tels que les condensateurs en céramique ou à film plastique, qui sont à usage fréquent, ou bien ceux en polyester
métallisé de meilleure qualité, servant pratiquement à tous les usages.
D’autres condensateurs de valeurs plus élevées sont polarisés (dotés d’une borne +
et d’une borne −) et doivent être mis dans le circuit électrique en respectant la polarité sous peine d’accidents. Il s’agit essentiellement de condensateurs électrochimiques, auxquels il faut rajouter les modèles au tantale, sous forme miniature « tantale goutte » ou sous boîtiers métalliques.
Soit un condensateur plan constitué de deux armatures de même surface « S ». Ces
armatures sont séparées généralement par un diélectrique de permittivité relative ´r
et d’épaisseur . La capacité du condensateur est donnée par l’expression suivante :
´0 ´r S
1
C=
avec : ´0 =

36 × p × 109
´0 est la permittivité du vide et ´r est la permittivité relative.
Les critères à considérer pour le choix d’un condensateur sont :
• sa capacité qui peut être indiquée de différentes façons. Il n’y a pas de règles

générales respectées par tous les fabricants ;
• sa précision ou tolérance. Notons à ce sujet que la précision est souvent de l’ordre

de 20 % et parfois plus, notamment pour les condensateurs électrochimiques ;
• sa tension de service. Cette tension représente la tension la plus élevée suppor-

tée par le condensateur. Attention, il ne faut jamais inverser la polarité pour les
condensateurs chimiques.
La première conséquence qui se dégage à partir de l’équation fondamentale précédente concerne le régime continu établi :
dU
U = constante, soit :
= 0 , ce qui donne un courant : i = 0
dt

22

1

•

Notions de base sur les circuits

En régime continu, le courant qui circule dans un condensateur est nul. Ce composant
se comporte donc comme un circuit ouvert (nous disons aussi interrupteur ouvert).
Inversement, un condensateur alimenté par un générateur de courant constant (I0 =
constante), développe à ses bornes une tension croissante UC .
d Q = I . d t = C . d uC
ce qui donne une tension :
I0
t + U0
C
Remarque : Un condensateur idéal ne consomme pas d’énergie ; cette dernière
est simplement stockée en attendant d’être évacuée.
uC =

Les relations suivantes relient les différentes grandeurs :
i(t) = C

d u(t)
dt



d 1
d u(t)
2
=
p(t) = u(t).i(t) = C.u(t)
C.u
dt
dt 2
t
1
WC =
p(t) d t = C.u2
2
0
WC est l’énergie accumulée par le condensateur au bout d’un temps t.

Supposons maintenant que pour t = 0, nous avons : U = 0 et Q = 0. Pour faire varier
l’énergie WC d’une quantité finie DWC en un temps infiniment petit Dt, il faudrait
fournir une puissance DWC /Dt qui est infinie, ce qui est physiquement irréalisable.
Nous déduisons donc :
Remarque : Ni la charge, ni la tension aux bornes d’un condensateur ne
peuvent varier instantanément. En revanche, le courant qui traverse le condensateur peut subir une discontinuité.
1.3.3 Cas d’une inductance
a) Lois de l’électromagnétisme
➤ Champ magnétique

Si nous faisons circuler un courant électrique I dans une bobine à n spires, il y a
→
−
création d’une induction magnétique B dont la valeur est proportionnelle à l’inten−
→
→
−
→
−
sité du courant I . Le champ magnétique H qui en résulte est égal au produit n. I .
L’ensemble des spires canalise les lignes d’induction, ce qui donne un flux d’induc→
−
tion F :
→ −
−
→
F = B .S où S est la section droite de la bobine

1.3

Relation tension-courant

23

➤ Loi de Lenz et self induction

→
−
→
−
Soit un circuit fermé traversé par un flux F. Lorsque nous faisons varier F, par un
→
−
procédé quelconque, le circuit devient le siège d’un courant dit courant induit Ii . Le
→
−
sens de ce courant induit est tel que le flux F qu’il produit à travers le circuit qu’il
parcourt tend à s’opposer à la variation de flux qui lui donne naissance. Il apparaît
→
e » telle que :
alors dans le circuit une force électromotrice induite « −
dF
d (Li)
di
→
−
e =−
=−
= −L
dt
dt
dt
Le raisonnement inverse est vrai aussi, Si une inductance L est parcourue par un
courant d’intensité i, la tension aux bornes de l’inductance est :
→ −
−
di
→
→
−
→
−
u = L.
soit : F = B .S = L. i
dt

i(t)

L

u = uL(t)
Figure 1.21 Symbole d’une inductance.

L’inductance (appelée également self) est l’élément de circuit capable de stocker
l’énergie dans un champ magnétique pendant un certain temps T1 avant d’être restituée durant T2 au reste du circuit.
Comme pour le condensateur, nous pouvons déterminer les relations suivantes :
d i(t)
u(t) = L
dt


d 1 2
d i(t)
i(t) =
Li
p(t) = u(t).i(t) = L
dt
dt 2

t
1
WL = 0 p(t) d t = L.i2
2
WL est l’énergie accumulée par l’inductance. Cette énergie ne pouvant varier instantanément, nous pouvons en déduire que :
Remarque : l’intensité du courant traversant une inductance ne peut subir de
discontinuité. En revanche la tension aux bornes de la bobine peut parfaitement varier d’une façon discontinue.
La première conséquence qui se dégage à partir de l’équation fondamentale précédente concerne le régime continu établi : i(t) = I0 = constante, donc :
d I0
= 0, soit : uL = 0
dt

24

1

•

Notions de base sur les circuits

En régime continu, la tension aux bornes d’une bobine est nulle. L’inductance se
comporte donc comme un court-circuit (nous disons aussi interrupteur fermé).
Remarque : Une bobine idéale ne consomme pas de l’énergie ; celle-ci est
simplement stockée en attendant d’être évacuée.
Souvent, on bobine soi-même son inductance, les valeurs normalisées sont rares et
les exigences de qualité imposent souvent des solutions individuelles. Néanmoins,
nous pouvons trouver des inductances miniatures à sorties axiales par exemple dont
les valeurs varient de 0,1 mH jusqu’à 1 mH.
b) Interaction magnétique et mutuelle inductance

Prenons maintenant le cas de deux bobines d’inductances L1 et L2 couplées par
exemple en utilisant le même noyau magnétique. Si l’une est parcourue par un courant i(t) variable, ce courant engendre une force électromotrice dans la deuxième
bobine et vice versa.
Pour traduire cette interaction d’une bobine sur l’autre, nous introduisons un coefficient d’induction mutuelle « M » ou mutuelle inductance tel que :
√
F = M .I en henry (H) avec : M = k L1 L2
k < 1 est le coefficient de couplage.
i 1(t)

M
u1(t)

L1 L2

i 2(t)

u2(t)

Figure 1.22 Représentation de l’effet de la mutuelle inductance.

1.3.4 Équations des circuits simples
Lorsque nous sommes en présence d’un circuit simple, nous utilisons les lois générales et les équations fonctionnelles des éléments du circuit. Prenons par exemple le
cas du circuit constitué par la mise en série d’une résistance, d’un condensateur et
d’une inductance.
Nous constatons que le courant i(t) est commun à tous les éléments. En parcourant
le circuit de gauche à droite, nous obtenons :
u(t) = uR (t) + uL (t) + uC (t)

d i(t) 1 t
+
u(t) = R.i(t) + L
i(t) d t + constante
dt
C 0

1.3

Relation tension-courant

25

i(t)

L

R
uR(t)

uL(t)

C
uC(t)

u(t)
Figure 1.23 Cas d’un circuit RLC série.

1.3.5 Grandeurs, symboles et unités de mesures
Pour finir ce premier chapitre, nous allons présenter les unités de mesure les plus
couramment utilisées en électricité et en électronique, ainsi que leurs significations.
Nous rappelons que les préfixes suivants désignent :
kilo = 1 000 = 103 , méga = 1 000 000 = 106 , giga = 109

milli =

1
= 10−3 , micro = 0,000 0001 = 10−6 , nano = 10−9
1 000

➤ Le joule (J)

Le joule est l’unité de mesure du travail, d’énergie ou de quantité de chaleur. 1 joule
représente le travail produit par une force de valeur 1 newton (N) dont le point d’application se déplace dans le même sens et dans la même direction que la force.
Une analogie entre le travail, les propriétés thermodynamiques des gaz et le dégagement de chaleur dans un conducteur a été faite par Joule. C’est cette dernière partie
qui nous intéresse dans ce livre.
Le joule appartient au système international SI est une unité relativement faible. Nous
utilisons souvent des multiples du joule (kilojoule kJ), mais nous utilisons rarement
des sous-multiples (millijoule mJ).
➤ Le watt (W)

Le watt représente le flux énergétique ou thermique exprimé en unité du système
international. Il s’agit de la puissance d’un système électrique dans lequel il y a
un transfert d’énergie de 1 joule par seconde. En électricité, cette unité très utilisée
représente la puissance dissipée par un dipôle que parcourt un courant constant de 1
ampère, lorsque la différence de potentiel aux bornes du dipôle est égale à 1 volt.
Le watt est une unité intermédiaire. Nous en utilisons pour l’électronique de puissance, l’électrotechnique et pour la distribution électrique des multiples (kilowatt kW,
voire même des mégawatt, pour les centrales électriques MW). Pour la commande
et le traitement des signaux en électronique, nous utilisons fréquemment des sousmultiples (milliwatt mW et parfois des nanowatts nW).

26

1

•

Notions de base sur les circuits

➤ Le volt (V)

Le volt est la différence de potentiel qui existe entre deux points du circuits. Lorsqu’une quantité de courant égale à 1 coulomb perd entre ces deux points une énergie
de 1 joule, ce qui revient à dire une puissance dissipée de 1 watt.
Le volt qui est l’unité en système international SI est une unité intermédiaire, Nous
en utilisons souvent pour la haute tension des multiples (kilovolt kV) et pour l’électronique, nous pouvons être amenés à utiliser des sous-multiples (millivolt mV, des
microvolts « mV », et des nanovolts nV).
➤ L’ampère (A)

L’ampère, unité du courant électrique qui doit son nom au célèbre physicien français
André Marie Ampère, fut d’abord défini comme étant égal à un débit de charge
électrique de 1 coulomb par seconde.
La définition actuelle de l’ampère est l’intensité du courant qui, traversant deux
conducteurs rectilignes et parallèles de longueurs infinies, de section négligeable et
placés à 1 mètre l’un de l’autre dans un vide, produirait entre ces deux conducteurs
une force de 2 newtons par mètre de longueur.
Nous utilisons souvent, pour les circuits qui fonctionnent à forte puissance, des
multiples de l’ampère (kiloampère kA) et des sous-multiples (milliampère mA, microampère mA et nanoampère nA) pour les faibles puissances.
Tableau 1.2 Résumé des grandeurs, unités et symboles.
GRANDEUR

SYMBOLE
DE LA GRANDEUR

UNITÉ

SYMBOLE DE L’UNITÉ

Tension (ddp)

U (ou V)

volt

V

Force électromotrice

E

volt

V

Intensité

I

ampère

A

Résistance

R

ohm

V

Impédance

Z

ohm

V

Capacité

C

farad

F

Inductance

L

henry

H

Période

T

seconde

S

Fréquence

f

hertz

Hz

Energie

W

joule

J

Puissance

P

watt

W

Puissance apparente

S

volt-ampère

VA

Température

u (ou T)

degré kelvin

K

Force

F

newton

N

Quantité d’électricité

Q

coulomb

C

1.3

Relation tension-courant

27

➤ L’ohm (V)

L’ohm mesure la propriété d’un élément à s’opposer au passage du courant électrique. Lorsqu’un dipôle électrique soumis à une tension égale à 1 volt, laisse passer
un courant de 1 ampère, le dipôle présente une résistance égale à 1 ohm. L’ohm est
aussi la résistance électrique d’un conducteur qui dégage, sous forme de chaleur, une
puissance de 1 watt lorsqu’il est parcouru par un courant constant de 1 ampère.
L’ohm est une unité petite. Pour des considérations de puissance, nous sommes souvent amenés à utiliser des multiples (kilo-ohm kV ou des méga-ohm MV), mais nous
pouvons, dans de rares cas, utiliser aussi ses sous-multiples.

CE QU’IL FAUT RETENIR
La puissance instantanée s’écrit : p(t) = u(t) × i(t) exprimée en watt « W ».
➤ La quantité d’énergie dissipée pendant « Dt » est :
Dt
Dt
W=
p(t) d t =
u(t) × i(t) d t en (J).
➤

0

➤

0

La puissance moyenne :
Pmoyenne =

W
1
=
Dt
Dt



Dt

1
Dt

p(t) d t =
0



Dt

u(t) × i(t) d t en watt.

0

➤ Un générateur réel de tension possède une résistance interne Rg placée en série
avec le générateur idéal de tension Eg . Pour une source idéale, Rg est nulle. Le point
M est le point de repos ou point de fonctionnement du circuit. Il se trouve à l’intersection des deux droites d’équation : U = Eg − Rg I et U = RI.

Rg

U
I
R

Eg

(a)

Eg
U0
U

Droite d’équation : U = RI
M

I0

Droite d’équation : U = Eg – RgI

(b)

ICC

I

Figure 1.24 Générateur réel de tension chargé par une résistance et sa caractéristique de sortie.

➤ Un générateur réel de courant présente une résistance interne Rg placée en parallèle
avec le générateur idéal de courant. Pour une source idéale, Rg est infinie. Le de repos

28

1

•

Notions de base sur les circuits

M se trouve à l’intersection des deux droites d’équation :
I = Ig −

U
Rg

I
I
Ig

Ig
I0

Rg R

U

et

I=

Droite d’équation : I = U/R
M

Droite d’équation : I = Ig – U/R

U0

(a)

U
R

(b)

RgIg

U

Figure 1.25 Générateur réel de courant chargé par une résistance et sa caractéristique de sortie.

➤

Un signal u(t) ou i(t) est périodique, de période « T » si, quel que soit l’instant t :
u(t) = u(t + T)

ou

i(t) = i(t + T)

avec :

f = 1/T en Hz (ou s−1 )

T est la période exprimée en seconde (s). La fréquence « f » est exprimée en
hertz (Hz).
➤ Le signal sinusoïdal est un signal périodique qui s’exprime à l’aide des fonctions
sinus et cosinus. La valeur (ou amplitude) instantanée exprimée en volt ou en ampère
s’écrit :
s(t) = SMax cos(vt + f)
ou
s(t) = SMax sin(vt + f)
2SMax représente la valeur crête à crête de s(t) ; SMax est la valeur maximale ou crête
de s(t).
v est la pulsation (ou vitesse angulaire) du signal : v = 2pf = 2p/T en radian par
seconde.
vt + f représente l’angle de phase instantanée appelé souvent phase instantanée.
f est l’angle de phase appelé souvent phase à l’origine.
➤ Soit un signal s(t) = Smax cos(vt + f) qui passe par un circuit électrique, la sortie

est notée : s (t) = Smax
cos(vt + f ). La différence de phase (déphasage) entre s(t) et

s (t) est la quantité :
Df = u − u = (vt + f ) − (vt + f) = f − f
Si f > f le signal s (t) est en retard de phase sur s(t). C’est le cas représenté à la
figure (a).
Si f < f le signal s (t) est en avance de phase sur s(t). Ce cas est représenté à la
figure (b).

1.3

Relation tension-courant

s (t),s’(t)

s (t)

29

s (t),s’(t)
s’(t)

s’(t)

s (t)

t ou (ωt)
Δφ

t ou (ωt)
Δφ

(a)

(b)

Figure 1.26 Déphasage entre s(t) et s (t).

➤

La valeur moyenne d’une fonction sinusoïdale
s(t) = SMax cos(vt + f) est nulle.
√
Sa valeur efficace Seff est : Seff = SMax / 2.
➤ Les tensions et les courants électriques en régime sinusoïdal ont pour expression :
√
√
s(t) = 2Seff cos(vt + f)
ou
s(t) = 2Seff sin(vt + f)
➤

La résistance est définie par la relation qui s’établit entre la tension à ses bornes
et le courant qui la traverse, appelée loi d’Ohm : u(t) = R × i(t) avec R exprimée en
ohm (V).
➤ La puissance instantanée dissipée par une résistance dans le cas particulier d’une
tension continue est :
p(t) = u(t) × i(t) = U × I = R × I 2 = U 2 /R en watt (W).
➤

Dans le cas particulier d’une tension continue, l’énergie consommée entre deux
instants t1 et t2 est W, la puissance moyenne dissipée par une résistance est Pmoyenne :
W=

U2
(t2 − t1 ) en joule (J) ;
R

Pmoyenne =

W
U2
= R.I 2 =
t2 − t1
R

en watt (W)

➤ La quantité de charges stockées pendant un intervalle de temps d t d’un condensateur C, traversé par un courant d’intensité i est dQ. On a une variation de la différence
de potentiel à ses bornes du. Les relations suivantes relient les différentes grandeurs :

dQ = C × d u = i × d t

en coulomb ;

i(t) = C

d u(t)
dt

en ampère ;

1
WC = C × u2 en watts
2
➤ Pour une inductance, nous pouvons déterminer les relations suivantes :
u(t) = L

d i(t)
;
dt

1
WL = L × i2
2

30

1

•

Notions de base sur les circuits

EXERCICES
Exercice 1.1

Propiriétés d’un conducteur en cuivre

Le cuivre est un métal qui libère en moyenne un électron par atome. Nous supposons que le nombre d’atomes par m3 est de 1029 .
1. Calculer la densité moyenne « n » des porteurs. En déduire la densité volumique des charges mobiles, notée rv .
2. Un fil de cuivre cylindrique de 1 mm2 de section est parcouru par un courant
→
−
continu de 1 A. Calculer la densité de courant J . En déduire la vitesse des charges
→
−
mobiles v .
3. La résistivité du cuivre utilisé vaut : r = 1,5 × 10−8 V.m. Calculer la résistance
d’un tronçon du fil précédent long de 10 m et déterminer la valeur du champ
électrique dans le conducteur.
Solution
1. Comme chaque atome libère en moyenne un électron par atome, nous obtenons
une densité d’électrons : n = 1029 e.m−3 (électron par mètre cube).

Cette densité est énorme. La densité volumique des charges mobiles vaut :


rv = n (−q) = 1029 × −1,6 × 10−19 = −1,6 × 1010 C.m−3
2. Nous supposons que la densité est uniforme, sa valeur est donc :

I
1A
−
→
J = =
= 106 A.m−2
S
1 mm2
La vitesse d’ensemble des électrons (charges mobiles) devient :
→
−
J
106 A/m2
→
−
v =
=−
≈ −6 × 10−5 m.s−1
rv
1,6 × 1010 C.m−3
Le signe « − » signifie que le vecteur densité de courant est orienté en sens opposé à
celui du vecteur vitesse.
3. La résistance du tronçon de 10 m de long est donnée par :
R = résistivité ×

longueur
10 m

= r. = 1,5 × 10−8 V · m ×
= 0,075 V
surface
S
2 mm2

La valeur du champ électrique est donnée par la loi d’Ohm locale :
→
−
J
→
−
→
−
E =
= r × J = 1,5 × 10−8 V.m × 106 A.m−2 = 0,015 V.m−1
s

Exercices

31

Exercice 1.2

Propriétés du silicium intrinsèque et dopé

Le silicium intrinsèque comprend 5 × 1028 atomes.m−3 . À la température ambiante, 2 × 1016 paires électron-trou par mètre cube participent à la conduction
électrique, n est la densité des électrons et p la densité des trous : n = p = ni .
Nous connaissons la mobilité des électrons mn et des trous mp :
mn = 0,14 m2 .V−1 s−1

et

mP = 0,05 m2 .V−1 s−1

1. Calculer la résistivité du silicium intrinsèque à la température ambiante.
2. Calculer, à la température ambiante, la résistivité du silicium dopé avec des
donneurs Nd avec un taux de dopage de 2 × 10−7 . Nous admettons le produit :
Nd .p = n2i .
3. Calculer dans les deux cas la résistance d’un tronçon de semi-conducteur de 2
mm2 de section et de 1 cm de longueur.
Solution
1. Nous savons que la densité n d’électrons et la densité p des trous sont identiques :

n = p = ni = 2 × 1016

charges par m3

Nous pouvons en déduire la conductivité du silicium :



s = sn + sp = qnmn + qpmp = qn mn + mp

Nous en déduisons donc la résistivité du silicium intrinsèque :
1
1
1

=
= 1,64 × 103 V.m
r= =
−
19
16
+
0,05)
s
1,6
×
10
×
2
×
10
(0,14
q.n mn + mp
La valeur de la résistivité d’un semi-conducteur est très élevée par rapport à celle
d’un métal qui est de l’ordre de 10−8 V.m.
2. La densité d’atomes des donneurs est :
Nd = 2 × 10−7 × 5 × 1028 = 1022 atomes donneurs par m3
Puisque chaque atome donneur libère un électron, le nombre d’électrons libres vaut :
n = Nd = 1022 électrons par m3
Le nombre de trous, qui sont minoritaires comparés aux électrons, devient dans ce
cas :

2
2 × 1016
n2i
=
= 4 × 1010 trous par m3
p=
Nd
1022
Le nombre de trous, qui participe à la conduction par m3 , devient négligeable par
rapport au nombre d’électrons. La conductivité du silicium dopé avec des donneurs
devient :


s = sn + sp = q.Nd .mn + q.p.mp = q Nd .mn + p.mp ≈ q.Nd .mn

32

1

•

Notions de base sur les circuits

Nous en déduisons la résistivité du silicium dopé avec : Nd = 2 × 10−7 :
1
1
1
=
= 4,46 × 10−3 V.m
r= =
−
19
s
q.Nd .mn
1,6 × 10
× 1022 × 0,14
La valeur de la résistivité d’un semi-conducteur dopé devient très nettement inférieure à celle d’un semi-conducteur intrinsèque.
3. La résistance du tronçon de 1 cm de longueur est donnée par :
R=r×

10−2
2 × 10−6

Nous trouvons dans les deux cas :
pour le silicium intrinsèque : R = 8,2 × 106 V , pour le silicium dopé : R = 22,3 V.
Exercice 1.3

Étude d’une source de tension chargée par une résistance

Soit le montage de la figure 1.27.

1 kΩ

RU

12 V
Source réelle de tension

U

Charge

Figure 1.27 Source réelle de tension avec résistance de charge.

1. Tracer la caractéristique tension-courant de la source réelle.
2. La résistance d’utilisation RU varie. Tracer la droite d’équation U = RU .I pour
les trois cas : RU = Rg , RU = 2Rg et RU = 0,5Rg .
3. Déterminer graphiquement les coordonnées des points de fonctionnement des
trois cas précédents. En déduire les puissances fournies à la charge. Conclure.
Solution
1. La tension récupérée en sortie aux bornes de la source réelle de tension s’écrit :

U = Eg − Rg I
avec : Eg = 12 V et Rg = 1 kV.
Il s’agit d’une droite de pente négative qui passe par les deux points de coordonnées :
(12 V, 0 mA)

et

(0 V, 12 mA)

Le premier point de coordonnées : (12 V, 0 mA) correspond à un fonctionnement à
vide : c’est à dire en débranchant la charge
Le deuxième point de coordonnées : (0 V, 12 mA) correspond à un fonctionnement
en court-circuit : c’est à dire en remplaçant RU par un court-circuit.

Exercices

33

Pour un fonctionnement normal, le point de fonctionnement doit être situé sur cette
droite de charge, entre les deux points précédents.
U
12

RU = 2Rg
RU = Rg

8V
6V

Droite d’équation : U = Eg– RgI
RU = 0,5Rg

4V

0

I
4 mA

6 mA

8 mA

12 mA

Figure 1.28 Caractéristique tension-courant de la source réelle de tension et les droites
d’équation U = RU .I.

2. La droite d’équation qui reflète le fonctionnement en sortie de la source réelle est :

U = RU .I
Il s’agit d’une droite qui passe par l’origine avec une pente positive. Nous avons tracé
sur la figure 1.28 les 3 droites qui correspondent aux 3 valeurs de RU .
3. Nous pouvons déterminer graphiquement les coordonnées des points d’intersection de la droite d’équation : U = Eg − Rg I et de la droite d’équation U = RU I. Nous
trouvons :
• pour RU = Rg le point de coordonnées (6 V , 6 mA), soit : P = U .I = 36 mW ;
• pour RU = 2Rg le point de coordonnées (8 V , 4 mA), soit : P = U .I = 32 mW ;
• pour RU = 0,5Rg le point de coordonnées (4 V , 8 mA), soit : P = U .I = 32 mW.

La puissance fournie à la charge passe par une valeur maximale lorsque la valeur de
la résistance d’utilisation est égale à la valeur de la résistance interne de la source.
Exercice 1.4 Étude d’une source réelle de courant chargée
par une résistance
Soit le montage de la figure 1.29.

10 mA

1 kΩ

Source réelle de courant

RU

U

Charge

Figure 1.29 Source réelle de courant avec résistance de charge.

34

1

•

Notions de base sur les circuits

1. Tracer la caractéristique courant-tension de la source réelle.
2. La résistance d’utilisation RU varie. Tracer la droite d’équation : U = RU .I
pour les cinq cas : RU = 1 kV, RU = 2 kV, RU = 5 kV, RU = 0,5 kV et
RU = 0,2 kV.
3. Déterminer graphiquement les coordonnées des points de fonctionnement correspondants aux 5 cas précédents. En déduire les puissances fournies à la charge.
Tracer la courbe représentant la variation de la puissance en fonction de RU .
Conclure.
Solution
1. Notons le courant du générateur Ig = 10 mA, et prenons la convention récepteur
pour la charge qui est parcourue par un courant noté IU .
L’équation courant-tension s’écrit donc :
U
U
U
I = Ig −
= 10 mA −
= 10 mA − 3
Rg
1 kV
10

Il s’agit d’une droite qui passe par les deux points de coordonnées :
(10 mA , 0V)

et

(0 mA , 10 V)

Le premier point (10 mA , 0V) correspond à l’intersection de la caractéristique avec
l’axe des ordonnées. Il s’agit d’un fonctionnement en court-circuit.
Le deuxième point (0 mA , 10 V) correspond à un fonctionnement en circuit ouvert,
ce point donne une tension notée UV = Rg .Ig qui est souvent appelée tension à vide
de la source de courant.
2. Les droites d’équations : U = RU .I sont des droites qui passent par l’origine
O avec des pentes égales à 1/RU . Nous avons tracé ces droites directement sur la
figure 1.30 de la question précédente.
I
10 mA

RU = 0,2Rg
RU = 0,5Rg

8,33 mA
6,66 mA

Droite d’équation: I = Ig – U/Rg

RU = Rg

5 mA

RU = 2Rg

3,33 mA

RU = 5Rg

1,66 mA

U
1,66 V

3,33 V

5V

6,66 V

8,33 V

10 V

Figure 1.30 Caractéristique courant-tension d’une source réelle de courant et droites
d’équations : U = RU .I.

Exercices

35

3. Nous pouvons déterminer graphiquement les coordonnées des points d’intersection des deux droites d’équations :

I = Ig −

U
U
U
= 10 mA −
= 10 mA − 3
Rg
1 kV
10

et
I=

25

U
, RU étant une résistance variable
RU

P(mW)

22,18

13,82

0,2Rg 0,5Rg

Rg

2Rg

5Rg

RU

Figure 1.31 Variation de la puissance P en fonction de la résistance RU .

• RU = Rg , le point (5 V ; 5 mA) donne P = U .I = 25 mW ;
• RU = 2Rg , le point (6,66 V ; 3,33 mA) donne P = U .I = 22,18 mW ;
• RU = 5Rg , le point (8,33 V ; 1,66 mA) donne P = U .I = 13,82 mW ;
• RU = 0,5Rg , le point (3,33 V ; 6,66 mA) donne P = U .I = 22,18 mW ;
• RU = 0,2Rg , le point (1,66 V ; 8,33 mA) donne P = U .I = 13,82 mW.

La puissance fournie à la charge passe par une valeur maximale lorsque la valeur de
la résistance d’utilisation est égale à la valeur de la résistance interne de la source.
Exercice 1.5

Valeurs moyennes et efficaces et signaux périodiques

Soit les tensions : u1 (t), u2 (t) et u3 (t) données à la figure 1.32.
1. Calculer pour chaque tension, la valeur moyenne.
2. Calculer les valeurs efficaces. Conclure.

36

1

u 1 (t)

•

Notions de base sur les circuits

u2 (t)

u3 (t)

T

E

E

E

t

t

t

T

–E

–E

T

Figure 1.32 Signaux périodiques : u1 (t), u2 (t) et u3 (t).

Solution
1. Les tensions u1 (t), u2 (t) et u3 (t) sont périodiques, la valeur moyenne d’une tension
u(t) est :

1 T
Umoyenne = u(t) =
u(t) d t
T 0
Nous pouvons écrire les équations mathématiques des différentes tensions :
u1 (t) = E sin (vt)
E
u2 (t) = t
T
⎧
⎨+E si t ∈ [0,T/2]
u3 (t) =
⎩−E si t ∈ [T/2,T]

Nous pouvons calculer les valeurs moyennes des différentes tensions :


1 T
1 T
U1moyenne = u1 (t) =
u1 (t) d t =
Umax sin(vt) d t = 0
T 0
T 0
T


1 T
1 TE
1 E t2
U2moyenne = u2 (t) =
u2 (t) d t =
t dt =
T 0
T 0 T
T T 2 0
2

E T
E
U2moyenne = 2
−0 =
T
2
2
T


1
1 T /2
1 T
u3 (t) dt =
E dt +
−E d t
U3moyenne = u3 (t) =
T 0
T 0
T T /2


E T /2 E
E E
T /2
T /2
U3moyenne = [t]0 −
−
[t]0 = 0
[t]0 =
T
T
T
T
2. La valeur efficace d’une tension périodique s’écrit :

1 T 2
Ueff =
u (t) d t
T 0

Exercices

37

• Pour le signal sinusoïdal, u(t) = E sin(vt), la valeur efficace devient :
2
U1(eff)
=

2
U1(eff)

1
T



E2
=
T

2
U1(eff)
=

T

u21 (t) d t =
0



T /2

−T /2

E2
2

1
T



T /2

−T /2

E2 sin2 (vt) d t



1 − cos(2vt)
E2
sin(2vt) T /2
dt =
t−
2
2T
2v
−T /2

E
soit : U1(eff) = √
2

• Pour le signal rampe, nous avons :



1 T E22
E2 T 2
dt =
t dt = 3
t dt
T 0 T2
T 0
0
T


E2 t3
E2 T3
E
2
U2(eff) = 3
= 3
−0
soit : U2(eff) = √
T 3 0
T
3
3
2
U2(eff)

1
=
T



T

u22 (t)

• Pour le signal carré, nous avons :
2
U3(eff)

1
=
T

2
=
U3(eff)



T

u23 (t)
0

1
dt =
T



T /2

1
E dt +
T



T

2

0

E2 T
E2
[t]0 =
[T − 0]
T
T

(−E)2 dt

T /2

soit : U3(eff) = E

Nous constatons que, même si la valeur moyenne d’une tension est nulle, sa valeur
efficace existe et est positive. Cette quantité représente la valeur de la tension continue qui provoquerait le même dégagement de chaleur dans une résistance.
Exercice 1.6

Étude d’une source de tension chargée par une inductance

Soit les deux montages de la figure 1.33.
i(t)

R

e(t)

i(t)

•A
u(t)

R

L

e(t)

u(t)

• B

•B
(a)

• A

(b)

Figure 1.33 Charge résistive (a) et charge inductive (b) d’une source de tension.

38

1

•

Notions de base sur les circuits

e(t) est une tension sinusoïdale : e(t) = E sin(vt), avec :
E = 10 V, v = 2p105 rad/s, R = 1 kV et

L = 1 mH

1. Déterminer, pour chaque montage, l’expression du courant i(t) en fonction des
éléments du circuit. En déduire le déphasage.
2. Calculer pour chaque cas, l’impédance du montage donnée par le rapport de la
tension sur le courant. En déduire son module.
3. Tracer en fonction du temps le courant i(t) et la tension e(t).
Solution
1. Pour le montage de la figure 1.33 (a), la tension e(t) se trouve aux bornes de la
résistance R. La loi d’Ohm donne :
E
e(t) = E sin (vt) = R.i(t) soit : i(t) = sin (vt) = I sin (vt)
R




5
et i(t) = 10 × 10−3 sin 2p105 t = I sin (vt)
e(t) = 10 sin 2p × 10 t

La tension e(t) et le courant i(t) s’écrivent sous deux formes identiques. Tous les deux
sont en phase (déphasage f = 0).
Pour le montage de la figure 1.33 (b), la tension e(t) se trouve aux bornes de la
résistance R et de l’inductance L (bobine). La loi d’Ohm donne :
d i(t)
e(t) = E sin (vt) = R.i(t) + uL (t) avec : uL (t) = L
dt
En remplaçant uL (t) par sa valeur, nous obtenons :
d i(t)
e(t) = E sin(vt) = R.i(t) + L
dt
Nous notons : i(t) = I sin (vt + f).
En dérivant i(t) dans l’expression de la loi d’Ohm, nous obtenons :
E sin (vt) = R.I sin (vt + f) + Lv.I cos (vt + f)
Cette identité doit être vérifiée à chaque instant. En particulier :
à l’instant t0 = 0, RI sin (f) + LvI cos (f) = E sin (0) = 0
p

p

p
p
, LvI cos
+ f + RI sin
+ f = E sin
à l’instant t = t1 =
2v
2
2
2
Nous obtenons un système de deux équations à deux inconnues f et I :

R sin (f) + Lv cos (f) = 0
I [Lv sin (−f) + R cos (f)] = E
La première équation donne :
tan (f) =

sin (f)
Lv
=−
= − 0,628
cos (f)
R

Exercices

39

f = Arc tan (−0,628) = −32,14◦ soit : f = −0,56 rad.
2. L’angle f étant négatif, nous pouvons le noter : f = −w. Dans ce cas, l’expression du courant est : i(t) = I sin (vt − w). La première équation devient :
R sin (−w) + Lv cos (w) = 0.
Nous pouvons donc tirer sin(w) et cos (w) :
Lv
R
et cos (w) =
sin (w) =
2
R2 + (Lv)
R2 + (Lv)2
En remplaçant dans la deuxième équation, sin(w) et cos(w) par leurs expressions,
nous obtenons :


Lv
R
=E
+ R
I Lv
R2 + (Lv)2
R2 + (Lv)2

soit : I R2 + (Lv)2 = E
Nous pouvons déduire le module de l’impédance Z :

E
|Z | = = R2 + (Lv)2
I

e(t)
E sin (vt)
E sin (vt)
Avec : Z =
=
=
× R2 + (Lv)2
i(t)
I sin (vt − w)
E sin (vt − w)

E
Application numérique : |Z | = = R2 + (Lv)2 = 1 181 V
I
sin (w)
Lv
tan (w) =
=
= soit : w = 0,56 rad
cos (w)
R
3. La tension est en avance de phase sur le courant, ou le courant est en retard de
phase sur la tension. Nous pouvons tracer les deux courbes :
e(t) en
i(t) en

e(t) en
i(t) en

t ou (vt)

t ou (vt)

0

w=0
(a)

w = 0,56 rad
(b)
Figure 1.34 Représentation du déphasage w.

40

1

Exercice 1.7

•

Notions de base sur les circuits

Valeurs moyennes et valeurs efficaces de signaux

périodiques
1. On donne la forme d’une tension périodique (sinusoïdale redressée double alternances) de la figure 1.35.(a) . Calculer sa valeur moyenne et sa valeur efficace.
2. On donne la forme d’un signal impulsionnel périodique de la figure 1.35.(b).
Calculer sa valeur moyenne et sa valeur efficace.
u(t)

u(t)
T
E

E

0

T

T/2

t

(a)

t1 t 0

t2

t

(b)

Figure 1.35 Redressement double alternance (a) et allure du signal impulsionnel (b)

Solution
1. Cas du redressement double alternance

On étudie la cas du redressement double alternance. La tension redressée est notée
u(t), Sachant que la tension d’origine est une tension sinusoïdale notée :
e(t) = E sin(vt), on fait un changement de variable : vt = u.
La tension redressée étant identique à la première alternance de e(t) mais répétée
deux fois. La valeur moyenne devient :

2p
p
p
1 T
1
2
E
− cos (u) 0
U=
u (t) d t =
E sin (u) d u =
E sin (u) d u =
T 0
2p 0
2p 0
p
U=

2E
E
− cos (p) + cos (0) =
p
p

De même, le calcul de la valeur efficace s’obtient en calculant :



1 T 2
E2 2p
E2 2p 1 − cos (2u)
2
=
u (t) d t =
sin2 (u) d u =
du
Ueff
T 0
2p 0
2p 0
2
2
=
Ueff

2p E2

E2
(2p − 0) − sin (2u) 0 =
4p
2

E
EMax
On en déduit : Ueff = √ = √
2
2

Exercices

41

2. Cas d’un signal impulsionnel périodique

On utilise le même raisonnement. On a une impulsion positive d’amplitude E et de
durée t : t = t − t1 . La période du signal est T. Il vient :

t2
1 T
1
U=
u (t) d t =
u (t) d t
T 0
(t2 − t1 ) t1
1
U=
T



t

E
E
t
× [t]tt21 = × [t2 − t1 ] = E ×
T
T
T

E dt + 0 =
t1

2
=
Ueff

1
T



T

u2 (t) d t =
0

1
T



t’

E2 d t
t1


E2
E2
t

× [t]tt1 =
× t − t1 = E 2 ×
T
T
T

t
=E×
T

2
=
Ueff

On en déduit : Ueff

Comportement de deux accumulateurs montés en parallèle
en fonction des valeurs des résistances internes
Exercice 1.8

On souhaite étudier le comportement de deux piles (accumulateurs) en fonction
des valeurs de leurs résistances internes et de leurs forces électromotrices.
1. La résistance RU varie de zéro à l’infini. Déterminer l’expression de la tension
U en fonction de E1 , R1 , E2 , R2 et RU . En déduire le fonctionnement pour RU = 0
et pour RU = ∞.
2. On suppose que E2 est supérieure à E1 : E2 > E1 . Etudier le cas général et
déterminer en fonction des valeurs des résistances le comportement de chaque
pile.
I1
R1

A
IU

I2
R2

RU

E2

E1
B
Pile 1

Pile 2

Figure 1.36 Montage d’étude à deux piles électriques.

42

1

•

Notions de base sur les circuits

Solution
1. Expression de la tension U en fonction de E1 , R1 , E2 , R2 et RU

Plusieurs méthodes peuvent être utilisées pour déterminer la tension U. La solution
qui nous paraît la plus simple consiste à appliquer le théorème de Millman. On prend
le potentiel du point B comme référence de tension : VB = 0.
E1 E2
0
+
+
E1 G1 + E2 G2
R
R2 RU
U = VA − VB = VA = 1
=
1
1
1
G 1 + G2 + G U
+
+
R1 R2 RU
Cas particulier : RU = 0. C’est le régime du court-circuit ce qui revient à prendre :
GU = ∞.
Ucc = lim

GU →∞

E1 G1 + E2 G2
=0
G 1 + G2 + GU

On trouve une différence de potentiel nulle, ce qui est normal en régime de courtcircuit.
Cas particulier : RU = ∞. C’est le régime du circuit à vide ce qui revient à prendre :
GU = 0.
Uvide =

E1 G1 + E2 G2
G1
R2
G2
R1
=
E1 +
E2 =
E1 +
E2
G 1 + G2
G 1 + G2
G 1 + G2
R1 + R2
R1 + R2

2. Étude du cas général

On est dans le cas pour lequel E2 est supérieure à E1 : E2 > E1 .
Comportement de la pile numéro 2
Cherchons à connaître le comportement de la pile numéro 2 en comparant la tension
U à la force électromotrice E2 .
E2 − U = E2 −

E2 − U =

E1 G1 + E2 G2
E2 (G1 + G2 + GU ) − E1 G1 − E2 G2
=
G 1 + G2 + G U
G 1 + G2 + GU

E2 G1 + E2 G2 + E2 GU − E1 G1 − E2 G2
(E2 − E1 ) G1 + E2 GU
=
G 1 + G2 + GU
G 1 + G2 + G U

Puisque E2 > E1 , l’expression précédente donne : E2 − U > 0, la pile numéro 2 se
comporte donc comme un générateur et ceci quelque soit les valeurs des différentes
résistances du montage. Le courant I2 circule comme indiqué à la figure 1.36.

Exercices

43

Comportement de la pile numéro 1
Cherchons à connaître le comportement de la pile numéro 1 en comparant la tension
U à la force électromotrice E1 .
E1 G1 + E2 G2
E1 (G1 + G2 + GU ) − E1 G1 − E2 G2
=
E1 − U = E1 −
G 1 + G2 + G U
G 1 + G2 + GU
E1 − U =

E1 G1 + E1 G2 + E1 GU − E1 G1 − E2 G2
E1 (G2 + GU ) − E2 G2
=
G 1 + G2 + G U
G 1 + G2 + G U

Puisque le dénominateur est positif, on doit étudier le signe du numérateur :


GU
E1 1 +
< E2 , on a donc : E1 −U < 0, la pile numéro 1 se comporte comme un
G2
récepteur qui reçoit l’énergie de la pile numéro 2. Le courant
I1 circule dans un sens contraire à celui indiqué à la figure 1.36.


GU
E1 1 +
> E2 , on a donc : E1 −U > 0, la pile numéro 1 se comporte comme un
G2
générateur qui fournit l’énergie à la résistance RU . Le courant
I1 circule comme indiqué à la figure 1.36.


GU
E1 1 +
= E2 , on a donc : E1 − U = 0, la pile numéro 1 se comporte comme si
G2
elle n’existait pas. Aucun courant I1 ne circule dans la branche
formée par R1 et E1 .

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